概述

SURF 是一种兴趣点检测及描述子算法。可以说是对SIFT算法的加强版。是用来实现尺度不变性特征点的检测与匹配任务的，SURF算法首先利用Hessian矩阵确定候选点，然后进行NMS（非极大值抑制）初步确定特征点，再通过确定特征点主方向，综合构造SURF特征点描述算子从而进行图像特征抽取。

SURF方法的具体实现

Hessian矩阵简介

在数学中，海森矩阵（Hessian matrix 或 Hessian）是一个多变量实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，描述了函数的局部曲率。假设有一实数函数f(x1, ,x2, x3, ….xn)，如果 f 所有的二阶偏导数都存在，那么 f 的海森矩阵的第 ij 项即：

其中x = (x1, x2, x3, x4, …,xn )，即

海森矩阵的行列式，可用于分辨 f 的临界点是属于鞍点还是极值点。

对于 f 的临界点 (x0, y0) 一点，有 ${\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial x}}={\frac {\partial f(x_{0},y_{0})}{\partial y}}=0$ ，然而凭一阶导数不能判断它是鞍点、局部极大点还是局部极小点。海森矩阵可能解答这个问题。

H > 0：

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}>0$

则 (x0, y0) 是局部极小点

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}<0$

则 (x0, y0) 是局部极大点。
H < 0：(x0, y0) 是鞍点。
H = 0：二阶导数无法判断该临界点的性质，得从更高阶的导数以泰勒公式考虑。

SURF中Hessian矩阵的构建

我们假设一个函数f(x, y)，那么图像中像素点的Hessian矩阵我们表示为：

从而每一个像素点都可以求出一个Hessian矩阵。Hessian矩阵判别式为：

在SURF算法中，通常用图像像素I(x,y)取代函数值f(x,y)。然后选用二阶标准高斯函数作为滤波器。

使用高斯滤波的原因是我们要求我们的特征点具有尺度无关性，所以我们在进行Hessian矩阵构造之前做一次高斯滤波，用高斯核和函数图像在x处卷积来实现，这样我们就有：

其中 G(t)为高斯核，g(t)为高斯函数，t 为高斯方差：

这样通过特定核间的卷积计算二阶偏导数，又能计算出H矩阵的三个矩阵元素Lxx, Lxy, Lyy，从而计算出H矩阵公式如下：

通过这种方法可以为图像中每个像素计算出其H矩阵的决定值，并用这个值来判别特征点。

这里SURF提出用近似的值代替L(x,t)，即可以将高斯二阶梯度模板用盒函数来近似：

比如说y方向上的模板Fig1(a)与Fig1(c)。Fig1(a)即用高斯平滑后在y方向上求二阶导数的模板。为了加快运算用了近似处理，其处理结果如Fig1(b)所示，这样就简化了很多。关键是可以使用积分图来进行运算！

积分图

SURF是对积分图像进行操作，从而实现了加速，采用盒子滤波器计算每个像素点的Hessian矩阵行列式时，只需要几次加减法运算，而且运算量与盒子滤波器大小无关，所以能够快速的构成出SURF的尺度金字塔。

积分图像中每个像元的值，是原图像上对应位置的左上角所有元素之和

如上图：我们要得到绿色矩形区域内的矩形像素之和S，只需要在积分图上，运算S=D-B-C+A就可以得到。

尺度空间

图像的尺度空间是这幅图像在不同解析度下的表示。上面讲的这么多只是得到了一张近似Hessian行列式图，但是在金字塔图像中分为很多层，每一层叫做一个octave，每一个octave中又有几张尺度不同的。

尺度空间通常通过高斯金字塔来实施，图像需要被重复高斯平滑，然后经过不断子采样，一层一层直到塔顶，如sift方法。而SUFR通过盒函数和积分图像，我们就不需要像SIFT方法那样，每组之间需要采样，而且还需要对当前组应用同上层组相同的滤波器，而SURF方法不需要进行采样操作，直接应用不同大小的滤波器就可以了。

在SURF中，图片的大小是一直不变的，不同的octave层得到的待检测图片是改变高斯模糊尺寸大小得到的。左边是传统方式建立一个如图所示的金字塔结构，图像的寸是变化的，并且运算会反复使用高斯函数对子层进行平滑处理，上图右边说明SURF算法使原始图像保持不变而只改变滤波器大小。SURF采用这种方法节省了降采样过程，其处理速度自然也就提上去了。卷积滤波器大小变化图：